Breve introduccion

Ejercicios resueltos del capítulo 3

Ejercicio 4

El largo de un rectángulo se incrementa a razón de 8cm/s y el ancho a razón de 3cm/s. Cuando el largo es 20cm y el ancho es 10cm. ¿qué tan rápido se incrementa el área del rectángulo.

Datos proporcionados:

$$\frac{dl}{dt} = 8\frac{cm}{s} $$ $$\frac{da}{dt} = 3\frac{cm}{s} $$ $$largo = 20cm $$ $$ancho = 3cm $$

Encontrando la ecuación para el incremento de área:

$$Area_{rectangulo} = largo \cdot anchura $$ $$\frac{dA}{dt} = l \cdot a $$ $$\frac{dA}{dt} = \frac{dl}{dt} \cdot a + l \cdot \frac{da}{dt} $$ $$\frac{dA}{dt} = 8 \cdot 10 + 3 \cdot 20 $$ $$\frac{dA}{dt} = 80 + 60 $$ $$\frac{dA}{dt} = 140 \frac{cm^{2}}{s} $$

Ejercicio 5

Un tanque cilíndrico con 5cm de radio se está llenando con agua a razón de 3cm cúbicos/min ¿Qué tan rápido se incrementa la altura del agua?

Ordenando los datos:

$$r = 5 cm $$ $$\frac{dV}{dt} = 3\frac{cm^{3}}{min} $$ $$\frac{dh}{dt} = ¿? $$

Volumen del cilindro

$$V_{cilindro} = \pi \cdot r^{2} \cdot h $$ $$V_{cilindro} = \pi \cdot (5)^{2} \cdot h $$

Derivando el volumen

$$\frac{dV}{dt} = \pi \cdot 25 \cdot \frac{dh}{dt} $$ $$3\frac{cm^{3}}{min} = \pi \cdot 25 \cdot \frac{dh}{dt} $$ $$\frac{dh}{dt} = \frac{3 \frac{cm^{3}}{min}}{25 cm^{2} \cdot \pi} $$ $$\frac{dh}{dt} = \color{green} \frac{3}{25 \pi} \frac{cm}{min} $$

Resumen

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Fecha: 3 de Abril 2023

Publicado por: Jorge AML

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Matemáticas

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